La congettura Certezza-Ampiezza: dal teorema alla confutazione, una mappa dei limiti dell’IA

Ascolta il podcast:

Nel 1637, nel Discorso sul metodo, René Descartes scrive: «osservai che questa verità: penso, dunque sono (COGITO ERGO SUM), era così certa e di tale evidenza che nessun fondamento di dubbio, per quanto stravagante, poteva scalfirla» (Descartes, 1637).^[1] Il cogito non è una deduzione sillogistica ma un’intuizione immediata: nel dubitare stesso, non posso dubitare che io dubiti, e dunque che io esista. È il primo principio, il punto d’Archimede da cui ricostruire la conoscenza. Quasi quattro secoli dopo, una ricerca analoga di un fondamento indubitabile attraversa la filosofia dell’intelligenza artificiale: non più la certezza dell’esistenza del soggetto pensante, ma la certezza degli output di un sistema artificiale. Luciano Floridi, nel 2025, ha formulato una congettura che prometteva di essere per l’IA ciò che il cogito fu per l’epistemologia cartesiana: un vincolo strutturale, matematicamente espresso, che separa ciò che è conoscibile con certezza da ciò che ricade nell’opaco dominio dell’approssimazione statistica.

La congettura Certezza-Ampiezza (Certainty–Scope Conjecture) afferma, in forma informale, che nessun sistema di intelligenza artificiale può essere simultaneamente affidabile su ogni input e abbastanza ampio da coprire la ricchezza dei dati non strutturati: affidabilità e ampiezza sono in tensione strutturale, imposta dalla capacità finita di elaborazione dell’informazione di qualsiasi meccanismo che implementi intelligenza (Floridi, 2025). Se vera, la congettura spiegherebbe perché i sistemi simbolici classici — dimostrabilmente corretti su domini ristretti — non possono diventare generatori multimodali a mondo aperto, e perché i modelli generativi su larga scala debbano ammettere una probabilità irreducibile di errore o allucinazione. Se falsa, aprirebbe uno spazio di progettazione inesplorato dove certezza dimostrabile e ampia copertura convivono.

La tesi di questo saggio è che la congettura, nella sua forma iperbolica universale originale, è stata confutata come legge generale, ma che il percorso dalla congettura al doppio proof (discreto e continuo) fino alla confutazione formale e alle critiche pluralistiche ha prodotto una mappa concettuale più ricca di qualsiasi teorema unico: ha mostrato che i trade-off tra certezza e ampiezza sono reali, strutturali e molteplici, ma non unificabili in una singola equazione valida per tutti i paradigmi di IA.

La congettura originale: formalizzare un’intuizione

Floridi (2025) contrappone due paradigmi storici. L’IA simbolica classica, radicata nella logica matematica e nella manipolazione di regole, offre prove di correttezza dei risultati (certezza) su input strettamente vincolati e pienamente formalizzati. L’IA generativa moderna — architetture transformer su larga scala — esegue mapping ad alta dimensionalità da dati a output informativi ricchi (ampiezza), ma fornisce solo garanzie statistiche sulle prestazioni. L’intuizione è che questi diversi “affordance” siano mutuamente limitanti: più ampia la copertura della realtà non strutturata, meno spazio per garanzie deduttivamente stagni.

La formalizzazione introduce due grandezze. La certezza epistemica: C(M) = 1 − sup_x∈X P(f_M(x) ≠ f*(x)), dove f_M è la funzione calcolata dal meccanismo e f* la specifica ground-truth. L’ampiezza di mapping: S(M) = K_T(X) + K_T(Y), la somma delle complessità di Kolmogorov degli spazi di input e output rispetto a una macchina di Turing universale T. La congettura (FC) postula l’esistenza di una costante universale k > 0 tale che, per ogni meccanismo IA “abbastanza espressivo”, C(M) × S(M) ≤ k.

Due corollari immediati ne derivano: regime di certezza dimostrabile (se C(M) = 1 allora S(M) ≤ k) e regime di ampia ampiezza (se S(M) > k allora C(M) < 1). La forma iperbolica C × S ≤ k promette un vincolo quantitativo universale, indipendente dall’architettura, valido tanto per i sistemi simbolici quanto per quelli generativi.

Tuttavia, già nella formalizzazione emergono ambiguità che Watson e Sterkenburg (2026) evidenzieranno: la probabilità in C(M) non specifica l’universo degli eventi (errore su tentativi ripetuti? errore bayesiano?); la complessità di Kolmogorov cumulativa per S(M) non chiarisce se l’output space sia limitato al codominio della funzione o all’intero spazio; la nozione di meccanismo “abbastanza espressivo” resta informale. Floridi stesso (2025b, correzione) riconosce la sfida e invita raffinamenti.

La revisione costruttiva: dall’aprioristico al misurabile sul campo

Alberto Messina (2026) accoglie l’invito e sposta la prospettiva: non più artefatti statici indipendenti dall’uso, ma sistemi valutati nel contesto d’uso reale, con il ruolo centrale degli utenti nella valutazione. La revisione opera su due fronti.

Primo, la certezza: sostituisce la misura mista supremo-probabilità con un Epistemic Certainty Level coerente, un’aspettativa su funzioni indicatrici sulle classi di equivalenza dello spazio degli output guidate dall’utente. Questo risolve l’ambiguità probabilistica: la correttezza non è una proprietà astratta del sistema ma una valutazione situata, dipendente da ciò che gli utenti considerano output equivalenti o accettabili.

Secondo, l’ampiezza: sostituisce la complessità di Kolmogorov cumulativa con l’entropia congiunta di Shannon. La motivazione è duplice: l’entropia di Shannon è operativamente accessibile (stimabile da dati), mentre la complessità di Kolmogorov è incomputabile; inoltre, l’entropia cattura la struttura statistica effettiva dei dati, non la loro complessità descrizionale nel caso peggiore. Come notano Teixeira et al. (2011), misure di entropia e complessità di Kolmogorov sono correlate ma divergono in regimi pratici rilevanti.

La revisione di Messina trasforma la congettura da valutazione aprioristica del sistema a misura di campo: C e S diventano quantità stimabili in deployment, non solo definizioni teoriche. Questo non “dimostra” la congettura, ma la rende trattabile — e quindi scientificamente feconda — spostando il problema dal piano logico-matematico a quello empirico-operazionale.

Il doppio proof: discreto (Fano) e continuo (rate-distorsione)

Mentre la revisione di Messina rendeva la congettura misurabile, Jia, Messina e Floridi (2026a, 2026b) fornivano due dimostrazioni formali in regimi operazionali diversi, componendo un dittico coordinato.

Il proof discreto (Jia, Messina & Floridi, 2026a) opera nel regime di classificazione finita: la certezza è l’accuratezza di Bayes ottimale, l’ampiezza è il numero di classi semantiche n (con correzione per sbilanciamento via entropy gap δ = ln n − H(Z)). Il teorema principale combina tre ingredienti classici — disuguaglianza di elaborazione dei dati, limite di capacità di canale, disuguaglianza di Fano — per stabilire: C(M) ln(n−1) ≤ κ + H_b(1−C(M)) + δ, dove κ è la capacità di Shannon del meccanismo. Il risultato è esatto: il canale simmetrico n-ario raggiunge l’uguaglianza. Le estensioni strutturali portano il peso filosofico: composizione multi-task (l’ampiezza si compone moltiplicativamente, la certezza congiunta decade come O(1/T)); informazione laterale a banda fissa (guadagni di certezza che svaniscono); post-elaborazione statica dell’output proprio (capacità aumentata zero — il chain-of-thought idealizzato sta dalla parte sbagliata del limite); uso sequenziale di tool (richieste di query che crescono logaritmicamente); routing (non solleva il vincolo locale); limitazione debole locale-globale (la fattibilità per contesto non compone in fattibilità globale).

Il proof continuo (Jia, Floridi, Tohmé & Messina, 2026b) affronta lo stesso problema per spazi semantici non-finiti usando la teoria rate-distorsione. La certezza diventa distorsione attesa sotto un target semantico grounded, l’ampiezza complessità rate-distorsione, la capacità del meccanismo una quantità vincolata da ammissibilità. Il teorema principale stabilisce che ogni decoder deve incorrere almeno nel pavimento di distorsione imposto dalla capacità. Le conseguenze operative parallele: regola di reverse water-filling per allocazione ottimale del budget tra esperti eterogenei; pavimento di distorsione multi-task; teorema sull’informazione laterale che limita il guadagno ottenibile da retrieval o tool use. Entrambi i proof mostrano che la tensione certezza-ampiezza sopravvive attraverso regimi diversi, con argomenti di controparte strutturalmente identici.

Crucialmente, né la revisione di Messina né i due proof “dimostrano” la congettura originale nella sua forma iperbolica universale C × S ≤ k. La formalizzazione operativa cambia le grandezze: capacità di Shannon invece di costante universale, class count o rate-distorsione invece di complessità di Kolmogorov, accuratezza di Bayes o distorsione attesa invece di certezza worst-case. Il vincolo strutturale è reale e dimostrabile, ma la sua forma matematica dipende dal regime operazionale scelto.

La confutazione formale: nessuna iperbola universale

Generoso Immediato (2026) raccoglie l’invito esplicito di Floridi a un test logico-matematico e confuta la congettura nella sua forma pubblicata. La disproof procede in due rami indipendenti, entrambi invarianti per scelta di macchina universale e codifica (teorema di invarianza, additivo O(1)).

Ramo Prefix-K: sotto complessità di Kolmogorov prefix-free (auto-delimitante), il floor S(M) ≥ 2 (almeno due bit per codificare insiemi non vuoti) contraddice il ceiling iperbolico S(M) < 2 che deriva da C(M) × S(M) ≤ k con k < 1 e C(M) ≥ 1/2. Per C(M) = 1 (regime di certezza dimostrabile), l’incompatibilità è a fortiori: S(M) ≤ k < 1 ma S(M) ≥ 2.

Ramo Plain-K: sotto complessità di Kolmogorov plain (classica), lo spazio degli output codificati è un insieme infinito e computabilmente enumerabile; per ogni T esiste una descrizione con K(r) > T. Si costruisce un controesempio esistenziale M_ex con C(M_ex) = 1 (meccanismo perfetto) e S(M_ex) > k per qualsiasi k fissato. Il teorema generale unifica i due rami: per qualsiasi funzionale di accuratezza A(M) che soddisfi assiomi minimi (range (0,1], normalizzazione meccanismo perfetto, compatibilità con C(M)), non esiste k ∈ (0,1) tale che A(M) × S(M) ≤ k valga per tutti i meccanismi ammissibili.

Immediato mostra inoltre che la successiva revisione “basata su entropia” (sostituendo Kolmogorov con entropia congiunta di Shannon) non ripristina l’universalità. La confutazione non nega che trade-off specifici esistano — li conferma — ma stabilisce che nessuna singola iperbola li vincola tutti sotto le definizioni pubblicate.

Il pluralismo contestuale: ruminazioni su un teorema mancato

Watson e Sterkenburg (2026) adottano una posizione nominalista: «ci sono molti trade-off specifici certezza-ampiezza ma nessuna forma universale di cui tutti partecipano».^[2] La loro critica è metodologica: qualsiasi caratterizzazione precisa di certezza o ampiezza esclude immediatamente una classe di casi a cui la pretesa generale mira ad applicarsi. L’eterogeneità dell’IA stessa — sistemi simbolici, learning statistico, reinforcement learning, architetture ibride, sistemi agentici con tool use — garantisce che ogni enunciazione abbastanza astratta da abbracciare tutti i casi deve sacrificare il dettaglio strutturale richiesto per una formalizzazione rigorosa.

Analizzano la formalizzazione di Floridi nel caso concreto della classificazione binaria, mostrando come sorgano questioni di modellizzazione a ogni passo: la specifica ground-truth f* è spesso parziale o contestata; la probabilità di errore richiede una distribuzione su input che il meccanismo può non incontrare mai; la complessità di Kolmogorov degli spazi input/output dipende da scelte di codifica arbitrarie. La revisione di Messina risolve alcune ambiguità ma ne introduce altre: le classi di equivalenza guidate dall’utente sono essa stesse dipendenti dal contesto e instabili nel tempo.

Più profondamente, Watson e Sterkenburg osservano che i teoremi no-free-lunch (Wolpert & Macready, 1997) e i limiti di generalizzazione basati su informazione mutua (Russo & Zou, 2020; Xu & Raginsky, 2017) esprimono già trade-off strutturali tra complessità dell’ipotesi e prestazioni — ma sono teoremi contestuali, validi sotto assunzioni esplicite (distribuzione dei dati, classe di ipotesi, metrica di perdita), non leggi universali. La pretesa di una singola iperbola C × S ≤ k indipendente da assunzioni è ciò che la confutazione di Immediato e il pluralismo di Watson e Sterkenburg colpiscono.

Cosa resta: vincoli strutturali, non leggi universali

La genealogia della congettura Certezza-Ampiezza — dall’intuizione informale di Floridi (2025), alla revisione operazionale di Messina (2026), al doppio proof discreto/continuo di Jia, Messina, Floridi (2026a) e Jia, Floridi, Tohmé, Messina (2026b), alla confutazione formale di Immediato (2026), alle ruminazioni pluralistiche di Watson e Sterkenburg (2026) — traccia una mappa concettuale più istruttiva di qualsiasi teorema singolo.

Primo, la distinzione concettuale tra certezza e ampiezza non è un artefatto della formalizzazione di Floridi: riemerge nei limiti di Fano per classificazione finita, nella teoria rate-distorsione per spazi continui, nei bound di generalizzazione basati su informazione mutua, nei teoremi no-free-lunch. È una tensione strutturale reale: meccanismi con capacità di informazione finita non possono sostenere affidabilità arbitrariamente alta mentre l’ampiezza operazionale cresce senza limite.

Secondo, la forma quantitativa del vincolo dipende dal regime operazionale: class count e disuguaglianza di Fano per classificazione discreta; rate-distorsione e reverse water-filling per spazi continui; entropia congiunta e Epistemic Certainty Level per misure di campo; bound di informazione mutua per learning statistico. Non esiste una “formula madre” da cui derivino tutte le altre come casi speciali.

Terzo, i controargomenti più forti non negano il vincolo ma ne contestano l’universalismo formale. Immediato mostra che la forma iperbolica pubblicata è matematicamente insostenibile sotto le sue stesse definizioni. Watson e Sterkenburg argomentano che l’impulso a sovra-formalizzare oscura proprio le distinzioni — tra paradigmi, task, contesti d’uso — che rendono il trade-off analiticamente interessante. Come scrivono: «piuttosto che cercare una legge onnicomprensiva, sosteniamo un approccio pluralistico, sensibile al contesto, che tratti la tensione certezza-ampiezza come una lente filosofica utile mentre resiste all’impulso di sovra-formalizzarla» (Watson & Sterkenburg, 2026, §5).^[3]

Quarto, nessuna di queste formalizzazioni chiude da sola la questione concettuale. Il proof discreto non “dimostra” che i LLM non possono essere affidabili su domini aperti: mostra che sotto l’operazionalizzazione scelta (classificazione finita, accuratezza di Bayes, capacità di Shannon) un vincolo quantitativo vale. Il proof continuo non “dimostra” che i modelli generativi devono allucinare: mostra che sotto rate-distorsione con vincoli di ammissibilità esiste un pavimento di distorsione. I risultati empirici non risolvono da soli questioni concettuali: un sistema che supera un benchmark non invalida il teorema, perché il teorema vale per ogni decoder sotto le assunzioni date.

La lezione cartesiana risuona qui: Descartes non trovò nel cogito una formula per generare verità, ma un criterio per distinguerle — «tutte le cose che concepiamo molto chiaramente e molto distintamente sono vere» (Descartes, 1637, Parte IV).^[4] Analogamente, la ricerca sulla congettura Certezza-Ampiezza non ha prodotto una legge universale dell’IA, ma ha affinato i criteri con cui valutiamo le pretese di affidabilità e generalità: costringendoci a specificare regime operazionale, misura di certezza, definizione di ampiezza, assunzioni sul meccanismo e sul contesto d’uso.

La tensione tra il desiderio di garanzie assolute (il cogito dell’ingegneria) e la realtà di sistemi che operano su domini aperti, rumorosi, contestati (l’ampiezza del mondo) non è un bug da fixare con un teorema: è la condizione strutturale dell’intelligenza artificiale come della conoscenza umana. Il cogito cartesiano non elimina il dubbio su tutto il resto; ne delimita il confine. La congettura Certezza-Ampiezza, nelle sue formulazioni successive, non elimina il trade-off; ne mappa la geografia variabile. Forse, come suggeriva Descartes, questa è la prima conoscenza che acquistiamo quando filosofiamo con ordine — e quando ingegneriamo con onestà intellettuale.

Bibliografia

1. Descartes, R. (1637). Discourse on the Method. Trans. J. Veitch. Project Gutenberg. https://www.gutenberg.org/files/59/59-h/59-h.htm
2. Floridi, L. (2025). A conjecture on a fundamental trade-off between certainty and scope in symbolic and generative AI. Philosophy & Technology, 38(3), 93. doi:10.1007/s13347-025-00927-z
3. Floridi, L. (2025b). Correction to: A conjecture on a fundamental trade-off between certainty and scope in symbolic and generative AI. Philosophy & Technology, 38(4), 133. doi:10.1007/s13347-025-00968-4
4. Messina, A. (2026). A proposal of revision of Floridi’s conjecture. Philosophy & Technology, 39(1), 29. doi:10.1007/s13347-026-01041-4
5. Jia, Y., Messina, A., & Floridi, L. (2026). A limit of AI, I: A discrete information-theoretic proof of the Certainty–Scope Conjecture. Minds and Machines, 36(4), 48. doi:10.1007/s11023-026-09796-7
6. Jia, Y., Floridi, L., Tohmé, F., & Messina, A. (2026). A limit of AI, II: A continuous rate–distortion proof of the Certainty–Scope Conjecture. Minds and Machines, 36(3), 38. doi:10.1007/s11023-026-09791-y
7. Immediato, G. (2026). No universal hyperbola: A formal disproof of the epistemic trade-off between certainty and scope in symbolic and generative AI. arXiv:2601.08845. doi:10.48550/arXiv.2601.08845
8. Watson, D.S. & Sterkenburg, T.F. (2026). Ruminations on Floridi’s conjecture. Philosophy & Technology, 39(75). doi:10.1007/s13347-026-01086-5
9. Cover, T.M. & Thomas, J.A. (2006). Elements of Information Theory (2nd ed.). Hoboken: Wiley.
10. Russo, D. & Zou, J. (2020). How much does your data exploration overfit? Controlling bias via information usage. IEEE Transactions on Information Theory, 66(1), 302–323.
11. Xu, A. & Raginsky, M. (2017). Information-theoretic analysis of generalization capability of learning algorithms. Advances in Neural Information Processing Systems, 30.
12. Wolpert, D.H. & Macready, W.G. (1997). No free lunch theorems for optimization. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 1(1), 67–82.
13. Teixeira, A., et al. (2011). Entropy measures vs. Kolmogorov complexity. Entropy, 13(3), 595–611. doi:10.3390/e13030595

Note

1. «But immediately upon this I observed that, whilst I thus wished to think that all was false, it was absolutely necessary that I, who thus thought, should be somewhat; and as I observed that this truth, I think, therefore I am (COGITO ERGO SUM), was so certain and of such evidence that no ground of doubt, however extravagant, could be alleged by the sceptics capable of shaking it» — Descartes, Discourse on the Method, 1637, Part IV. Fonte: Project Gutenberg. Traduzione nostra.
2. «there are many specific certainty-scope trade-offs but no universal form of which they all partake» — Watson & Sterkenburg, Philosophy & Technology, 39(75), 2026, §1. Fonte: SpringerLink (open access).
3. «rather than seeking an all-purpose law, we advocate a pluralistic, context-sensitive approach that treats the certainty-scope tension as a useful philosophical lens while resisting the impulse to over-formalize it» — Watson & Sterkenburg, Philosophy & Technology, 39(75), 2026, §5. Fonte: SpringerLink (open access). Traduzione nostra.
4. «all the things which we very clearly and distinctly conceive are true» — Descartes, Discourse on the Method, 1637, Part IV. Fonte: Project Gutenberg.

Podcast: Play in new window | Download